SEMANA #1 (4-7) MAYO
Realizamos ejercicios referentes a funciones vectoriales
https://docs.google.com/file/d/0B3NNTBVL1_YVZDR4ZUN5OEl6REU/edit?usp=drive_web (capitulo 13)
SEMANA #2 (11-14) MAYO
LONGITUD DE CURVA
Triedro móvil
También llamado Triedro de Frenet, como hemos visto, en cada punto de la curva podemos definir tres vectores: tangente, normal y binormal. Juntos forman una base ortonormal de R3. Así a cada punto de la curva podemos asociar una base de R3, y al recorrerse la curva se mueve también esta base. Es una referencia móvil. Los tres vectores determinan tres planos ortogonales que los contienen, dando la impresión de que la base estuviese colocada en la esquina de una caja. Es por eso que la base también recibe el nombre de triedro (del griego tri=tres y hedron=caras) de Frenet. Es posible apreciar tres planos el osculador, el rectificante y el normal.
+RECTA TANGENCIAL
+RECTA BINORMAL
+RECTA NORMAL PRINCIPAL
+PLANO OSCULADOR
+PLANO RECTIFICANTE
+PLANO NORMAL
-Clases de curvaturas
La curvatura es una medida del cambio de dirección del vector tangente a una curva, cuanto más rápido cambia éste a medida que nos desplazamos a lo largo de la curva, se dice que es más grande la curvatura.La torsión es una medida del cambio de dirección del vector binormal: cuanto más rápido cambia, más rápido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y más retorcida aparece la curva. Por lo tanto, para una curva totalmente contenida en el plano la torsión es nula ya que el vector binormal es constantemente perpendicular al plano que la contiene.
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SEMANA #3 (18-22) MAYO
Funciones de Varias Variables
Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo numero, que se escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variables independientes (x, y, z, ...).
La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente.
Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).
f(x,y) = 2x +5y Función de dos variables
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Análisis del dominio de definición
f (x1, . . . , xn) se dice que f es una función de las variables x1, . . . , xn.
Ejemplo Las funciones definidas
A (b, h) = b · h
I (x1, x2) = p1 · x1 + p2 · x2
f (x, y) = C · x exp(a)· y exp(1−a)
son funciones de dos variables.
El dominio y recorrido son el conjunto D de la definición anterior se llama dominio de f, y el conjunto de valores f (x1, . . . , xn) correspondiente a dicho dominio se llama recorrido de f.
Ejemplo Las funciones definidas
A (b, h) = b · h
I (x1, x2) = p1 · x1 + p2 · x2
f (x, y) = C · x exp(a)· y exp(1−a)
son funciones de dos variables.
El dominio y recorrido son el conjunto D de la definición anterior se llama dominio de f, y el conjunto de valores f (x1, . . . , xn) correspondiente a dicho dominio se llama recorrido de f.
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SEMANA #4 (25-28) MAYO
Curvas de nivel
Cuando tenemos una función z = f(x, y) de dos variables reales y valor real, la gráfica de dicha función corresponde al conjunto gr (f):= {(x, y, f(x, y)): (X, y) ,¬ Dom (f)}. Al ubicar dichos puntos en el espacio R3, obtenemos una superficie en dicho espacio.
Una forma de estudiar dicha superficie, aunque en dos dimensiones, es considerar la intersección de dicha superficie con el plano z = k, donde k ,¬ Recorrido (f). De esta manera, obtenemos el conjunto {(x, y, k): f(x, y) = k}, el cual corresponde a la curva de nivel de la superficie z = f(x, y) con z = k. Al proyectar dicha intersección en el plano
x,y, obtenemos lo que se denomina curva de nivel.
Cuando comparamos una superficie z = f(x, y) con una montaña, el estudio de las curvas de nivel corresponde a lo que acontece de manera análoga cuando dicha montaña es representada en dos dimensiones por medio de un mapa, donde se dibujan los contornos de dicha montaña indicando cual es la altura en las coordenadas (x, y) de dicho contorno.
Límites de Funciones de Varias Variables
Para una función f de dos variables, decimos que lím (x,y)→(a,b) de f (x, y) = L, si existen los límites por TODOS los caminos posibles hacia el punto (a, b), y además coinciden con el valor de L.
Si nos acercamos por la recta y = x obtenemos como límite el valor 0. Si nos acercamos por otra recta, por ejemplo, y = 1, obtenemos el valor 2. Como estos límites no coinciden, entonces no existe el límite.
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Continuidad de funciones de Varias Variables
Una función f : Rn → R es continua en el punto (a1, . . . , an) si lím (x1,...,xn)→(a1,...,an) de
f (x1, . . . , xn) = f (a1, . . . , an). Diremos simplemente que f es continua si lo es para todo punto de su dominio. Intuitivamente, f es continua en (a1, . . . , an). Si su gráfica no tiene saltos, agujeros, asíntotas,etc. Caso contrario se debe proceder a obtener el límite para comprobar si puede ser discontinua evitable o discontinua inevitable.
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Derivadas Parciales
Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales
1.- La razón de cambio de la variable z cuando x varia e y se mantiene constante
2.- La pendiente de la tangente a la curva del plano y=b obtenida como intersección de la superficie z=f(x,y) con dicho plano.
de la misma manera representa:
1.- La razón de cambio de la variable z cuando y varia y x se mantiene constante
2.- La pendiente de la tangente a la curva del plano x=a obtenida como intersección de la superficie z=f(x,y) con dicho plano.
Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.
Usamos el método de diferenciación para determinar la derivada de un función de varias variables en manera implícita, tomando en cuenta que las propiedades de diferenciación son muy similares a las propiedades de la derivación. Es importante mencionar que si la función es de múltiples variables, se va a determinar dos derivadas, una con respecto a cada variable.
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